2027학년도 수원대 대비 이과용 수학모의고사 7회 해설집

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📢 [실전모의고사] 2027학년도 수원대 대비 이과용 수학모의고사 7회 해설집 (제7회 · 기존 기출 수준 (난이도: 중)) (아카데미·선생님 전용 공식 검수 완결본)

QUESTIO ESSAY SERIES

2027학년도 수원대학교 교과논술 실전 대비

2027학년도 수원대 대비
이과용 수학모의고사 7회 해설집

수원대학교 (이과용 · 자연계열 A·B형 수학)

제7회 · 기존 기출 수준 (난이도: 중) · 수학 I·II 10문항 완벽 수록
단계별 모범답안 · 공식 채점기준 및 부분 배점(10점 만점) 수록

편저: QUESTIO 수리논술 입시연구소
감수: 아카데미·선생님 전용 QAH 품질검증위원회

2027 ACADEMIC YEAR EDITION

수학 I 지수방정식의 치환 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.25 탐구 9071 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

[문제] 방정식 \(9^x-4\cdot3^x+3=0\)의 모든 실근의 합을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(3^x=t\,(t\gt0)\)로 놓으면 \(t^2-4t+3=0\)이다.
2) \((t-1)(t-3)=0\)에서 \(t=1, 3\)이고 모두 양수이다.
3) \(x=0, 1\)이므로 모든 실근의 합은 \(1\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
치환과 \(t\gt0\) 조건	4점
\(t=1, 3\)	3점
합 \(1\)	3점

수학 I 로그함수의 최대·최소 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 9072 변형 | 성취기준: 12대수01-06]

[문제] 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(y=\log_2(x^2-4x+8)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(g(x)=x^2-4x+8=(x-2)^2+4\)는 \([0,3]\)에서 최솟값 \(g(2)=4\), 최댓값 \(g(0)=8\)이다.
2) 밑 \(2\gt1\)이므로 \(y\)는 \(g\)가 클수록 크다.
3) 최댓값 \(\log_28=3\), 최솟값 \(\log_24=2\)이므로 합은 \(5\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
진수의 최대·최소	4점
밑에 따른 증가 판정	3점
합 \(5\)	3점

수학 I 삼각함수의 주기와 최대·최소 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 9073 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

[문제] 함수 \(f(x)=2\sin\dfrac{\pi x}{3}+1\)의 주기를 \(p\), 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(p+M+m\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 주기는 \(p=\dfrac{2\pi}{\pi/3}=6\)이다.
2) \(-1\le\sin\dfrac{\pi x}{3}\le1\)이므로 \(M=3, m=-1\)이다.
3) 따라서 \(p+M+m=8\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
주기 계산	4점
최댓값·최솟값	3점
합 \(8\)	3점

수학 I 코사인법칙과 삼각형의 넓이 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 9074 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}}=5,\ \overline{\mathrm{AC}}=3,\ \angle A=\dfrac{2\pi}{3}\)일 때, \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이와 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 코사인법칙에 의하여 \(\overline{\mathrm{BC}}^2=25+9-2\cdot5\cdot3\cos\dfrac{2\pi}{3}=49\)이다.
2) 따라서 \(\overline{\mathrm{BC}}=7\)이다.
3) 넓이는 \(\dfrac12\cdot5\cdot3\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{15\sqrt3}{4}\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
코사인법칙 적용	4점
\(\overline{BC}=7\)	2점
넓이 \(\frac{15\sqrt3}{4}\)	4점

수학 I 수열의 합과 일반항, 등비수열 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 9075 변형 | 성취기준: 12대수03-04]

[문제] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합이 \(S_n=3^n-1\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}a_{2k}\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(a_1=S_1=2\), \(n\ge2\)일 때 \(a_n=S_n-S_{n-1}=2\cdot3^{n-1}\)이고 \(n=1\)에서도 성립한다.
2) \(a_{2k}=2\cdot3^{2k-1}=\dfrac23\cdot9^k\)은 첫째항 \(6\), 공비 \(9\)인 등비수열이다.
3) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}a_{2k}=\frac{6(9^5-1)}{8}=44286\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
일반항 \(a_n=2\cdot3^{n-1}\)	4점
짝수항 수열 파악	3점
합 \(44286\)	3점

수학 II 무리식의 극한 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.38 탐구 9076 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+ax}-x)=3\)일 때 상수 \(a\)의 값을 구하고, \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+ax}-x-3\right)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 유리화하면 \(\sqrt{x^2+ax}-x=\dfrac{ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}\to\dfrac a2=3\)이므로 \(a=6\)이다.
2) \(\sqrt{x^2+6x}-(x+3)=\dfrac{-9}{\sqrt{x^2+6x}+x+3}\)이다.
3) 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{-9x}{\sqrt{x^2+6x}+x+3}=-\frac92\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
\(a=6\)	4점
두 번째 식의 유리화	3점
값 \(-\frac92\)	3점

수학 II 사잇값 정리와 실근의 유일성 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.39 탐구 9077 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 방정식 \(x^3+x-1=0\)이 열린구간 \((0, 1)\)에서 오직 하나의 실근을 가짐을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(f(x)=x^3+x-1\)은 연속이고 \(f(0)=-1\lt0,\ f(1)=1\gt0\)이다.
2) 사잇값 정리에 의하여 \((0,1)\)에 실근이 적어도 하나 존재한다.
3) \(f'(x)=3x^2+1\gt0\)이므로 \(f\)는 증가함수이고 실근은 오직 하나이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
함숫값 부호 확인	3점
사잇값 정리 적용	4점
증가함수로 유일성	3점

수학 II 곱의 미분법 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 탐구 9078 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02]

[문제] 다항함수 \(f(x)\)가 \(f(1)=2,\ f'(1)=3\)을 만족시킨다. \(g(x)=(x^2+1)f(x)\)일 때 \(g'(1)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 곱의 미분법에 의하여 \(g'(x)=2xf(x)+(x^2+1)f'(x)\)이다.
2) \(x=1\)을 대입하면 \(g'(1)=2f(1)+2f'(1)\)이다.
3) 따라서 \(g'(1)=4+6=10\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
곱의 미분법	4점
대입	3점
값 \(10\)	3점

수학 II 삼차함수의 극대와 극소 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.21 탐구 9079 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]

[문제] 함수 \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)의 극댓값과 극솟값의 합을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\)이다.
2) 부호 변화에 의하여 \(x=-1\)에서 극대, \(x=3\)에서 극소이다.
3) 극댓값 \(f(-1)=10\), 극솟값 \(f(3)=-22\)이므로 합은 \(-12\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
도함수 인수분해	3점
극대·극소 판정	4점
합 \(-12\)	3점

수학 II 곡선과 직선 사이의 넓이 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 탐구 9080 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[문제] 곡선 \(y=x^2-2x\)와 직선 \(y=x\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(x^2-2x=x\)에서 \(x=0, 3\)이다.
2) \(0\le x\le3\)에서 \(x\ge x^2-2x\)이다.
3) 넓이는 \(\displaystyle\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\frac{27}{2}-9=\frac92\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
교점	3점
위아래 판정과 식	3점
넓이 \(\frac92\)	4점

📝 [제7회 이과용 · 수학 1번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 2번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 3번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 4번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 5번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 6번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 7번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 8번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 9번 문항]

📝 [제7회 이과용 · 수학 10번 문항]